tag:blogger.com,1999:blog-55855931436602936352023-06-20T05:28:59.615-07:00SISTEMAS DE ECUACIONESluis felipe lópez diagohttp://www.blogger.com/profile/03579129012659677265noreply@blogger.comBlogger1125tag:blogger.com,1999:blog-5585593143660293635.post-20994355147933528122011-04-12T14:03:00.000-07:002011-04-12T14:40:13.175-07:00Sistema de ecuaciones<span class="Apple-style-span" style="font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19px;"></span><br />
<div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em;">En las <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">matemáticas</a>, un <b>sistema de ecuaciones</b> es un conjunto de dos o más <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Ecuación">ecuaciones</a> con varias <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Inc%C3%B3gnita" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Incógnita">incógnitas</a> que conforman un<a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Problema_matem%C3%A1tico" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">problema matemático</a> consistente en encontrar las incógnitas que satisfacen dichas ecuaciones.</div><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em;">En un sistema de ecuaciones algebraicas las incógnitas son valores numéricos (o más generalmente elementos de un cuerpo sobre el que se plantean las ecuaciones), mientras que en una ecuación diferencial las incógnitas son funciones o distribuciones de un cierto conjunto definido de antemano. Una solución de dicho sistema es por tanto, un valor o una función que substituida en las ecuaciones del sistema hace que éstas se cumplan automáticamente sin que se llegue a una <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Contradicci%C3%B3n" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">contradicción</a>. En otras palabras el valor que reemplazamos en las incógnitas debe hacer cumplir la igualdad del sistema.</div><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em;">Las incógnitas se suelen representar utilizando las últimas letras del <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Alfabeto_latino" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">alfabeto latino</a>, o si son demasiadas, con subíndices.</div><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em;"></div><h2 style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; border-bottom-color: rgb(170, 170, 170); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; color: black; font-size: 19px; font-weight: normal; margin-bottom: 0.6em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; overflow-x: hidden; overflow-y: hidden; padding-bottom: 0.17em; padding-top: 0.5em; width: auto;"><span class="mw-headline" id="Sistema_general">Sistema general</span></h2><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em;">La forma genérica de un sistema de <img alt="m\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/7/9/d/79dd9720ffa5bbe026e23afc9ab4df3c.png" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; vertical-align: middle;" /> ecuaciones algebraicas y <img alt="n\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/a/9/5/a957404c96e59f1746f97ab668c8e1f8.png" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; vertical-align: middle;" /> incógnitas es la siguiente:</div><blockquote style="background-color: white; color: black; margin-bottom: 0.8em; margin-left: 30px; margin-top: 0.5em; min-width: 50%; padding-bottom: 5px; padding-left: 10px; padding-right: 10px; padding-top: 5px; text-align: left;"><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em;"><img alt="\left\{\begin{matrix}F_1(x_1,...,x_n)=0 \\
\vdots \\
F_m(x_1,...,x_n)=0\end{matrix}\right." class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/d/7/4/d7465b569a75a87bda959ec986a7b2ab.png" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; vertical-align: middle;" /></div></blockquote><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em;">donde <img alt="F_1, \ldots, F_m" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/8/2/8/828f15ba583e26bb4a237112584f3d34.png" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; vertical-align: middle;" /> son <a class="mw-redirect" href="http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_(matem%C3%A1ticas)" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Función (matemáticas)">funciones</a> de las incógnitas. La solución, perteneciente al <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_eucl%C3%ADdeo" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">espacio euclídeo</a> <img alt=" \R^n " class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/f/6/5/f65c4f70e25cf0c782818fa85ab12bb7.png" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; vertical-align: middle;" />, será tal que el resultado de evaluar cualquier expresión <img alt="F_i\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/e/a/f/eafb19d29d6ab1f3cb65b7667f857d6a.png" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; vertical-align: middle;" /> con los valores de dicha solución, verifique la ecuación.</div><h3 style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; border-bottom-color: initial; border-bottom-style: none; border-bottom-width: initial; color: black; font-size: 17px; font-weight: bold; margin-bottom: 0.3em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; overflow-x: hidden; overflow-y: hidden; padding-bottom: 0.17em; padding-top: 0.5em; width: auto;"><span class="mw-headline" id="Representaci.C3.B3n_gr.C3.A1fica"><br />
Representación gráfica</span></h3><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em;">Los sistemas de 2 o 3 incógnitas <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Número real">reales</a> admiten representaciones gráficas cuando las funciones <img alt="F_i\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/e/a/f/eafb19d29d6ab1f3cb65b7667f857d6a.png" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; vertical-align: middle;" /> en (<span class="plainlinksneverexpand" id="Eqnref_1" style="background-attachment: initial !important; background-clip: initial !important; background-color: initial !important; background-image: none !important; background-origin: initial !important; padding-bottom: 0px !important; padding-left: 0px !important; padding-right: 0px !important; padding-top: 0px !important;"><a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuaciones#Equation_1" style="background-attachment: initial !important; background-clip: initial !important; background-color: initial !important; background-image: none !important; background-origin: initial !important; background-position: initial initial !important; background-repeat: initial initial !important; color: #0645ad; padding-bottom: 0px !important; padding-left: 0px !important; padding-right: 0px !important; padding-top: 0px !important; text-decoration: none;">1</a></span>) son continuas a tramos. En cada ecuación se representa como una curva o una superficie curva. La existencia de soluciones en ese caso puede deducirse a partir de la existencia de intersecciones comunes a dichas curvas o superficies curvas.</div><h3 style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; border-bottom-color: initial; border-bottom-style: none; border-bottom-width: initial; color: black; font-size: 17px; font-weight: bold; margin-bottom: 0.3em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; overflow-x: hidden; overflow-y: hidden; padding-bottom: 0.17em; padding-top: 0.5em; width: auto;"><span class="mw-headline" id="Clasificaci.C3.B3n_de_los_sistemas"><br />
Clasificación de los sistemas</span></h3><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em;">Un sistema de ecuaciones sobre <img alt="\R^n" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/f/6/5/f65c4f70e25cf0c782818fa85ab12bb7.png" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; vertical-align: middle;" /> puede clasificarse de acuerdo con el número de soluciones en:</div><ul style="line-height: 1.5em; list-style-image: url(data:image/png; list-style-type: square; margin-bottom: 0px; margin-left: 1.5em; margin-right: 0px; margin-top: 0.3em; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;"><li style="margin-bottom: 0.1em;"><b>Sistema incompatible</b> cuando no admite ninguna solución. Un ejemplo de sistema incompatible es <span class="texhtml" style="font-family: serif;">{54<i>x</i> − 36<i>y</i> = 9, − 54<i>x</i> + 36<i>y</i> = 30}</span>, ya que usando el método reducción y sumando miembro a miembro se obtiene la contradicción 0 = 39.</li>
<li style="margin-bottom: 0.1em;"><b>Sistema compatible</b> cuando admite alguna solución que a su vez pueden dividirse en:<ul style="line-height: 1.5em; list-style-image: url(data:image/png; list-style-type: square; margin-bottom: 0px; margin-left: 1.5em; margin-right: 0px; margin-top: 0.3em; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;"><li style="margin-bottom: 0.1em;"><b>Sistemas compatibles indeterminados</b> cuando existe un número infinito de soluciones que forman una <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Variedad_diferenciable" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Variedad diferenciable">variedad continua</a>. Un ejemplo de sistema compatible indeterminado es <span class="texhtml" style="font-family: serif;">{<i>x</i> + <i>y</i> = 1,2<i>x</i> + 2<i>y</i> = 2}</span> ya que claramene la segunda ecuación es linealmente dependiente de la primera, habiéndo sido multiplicados todos los términos por 2.</li>
<li style="margin-bottom: 0.1em;"><b>Sistemas compatibles determinados</b> cuando admiten un conjunto finito de soluciones, o un conjunto infinito de soluciones aisladas con a lo sumo un número finito de <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Punto_de_acumulaci%C3%B3n" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Punto de acumulación">puntos de acumulación</a>. Un ejemplo de sistema compatible determinado es <span class="texhtml" style="font-family: serif;">{2<i>x</i> + 3<i>y</i> = 9,3<i>x</i> − 2<i>y</i> = 7}</span>cuya solución única es <span class="texhtml" style="font-family: serif;"><i>y</i> = 1</span> y <span class="texhtml" style="font-family: serif;"><i>x</i> = 3</span>.</li>
</ul></li>
</ul><h2 style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; border-bottom-color: rgb(170, 170, 170); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; color: black; font-size: 19px; font-weight: normal; margin-bottom: 0.6em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; overflow-x: hidden; overflow-y: hidden; padding-bottom: 0.17em; padding-top: 0.5em; width: auto;"><span class="mw-headline" id="Sistema_lineal"><br />
Sistema lineal</span></h2><div class="noprint AP" style="margin-bottom: 0.2ex; margin-left: 1em; margin-right: 0px; margin-top: 0px;"><i><span style="font-size: 11px;">Artículo principal:</span> <a class="mw-redirect" href="http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_lineal_de_ecuaciones" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Sistema lineal de ecuaciones">Sistema lineal de ecuaciones</a></i></div><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em;">Un sistema como el anterior en que las anteriores ecuaciones son <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_lineal" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Función lineal">funciones afines</a>. A diferencia del caso general, la solución de los sistemas de ecuaciones lineales son fáciles de encontrar cuando los coeficientes de las ecuaciones son números reales o complejos. También existen medios generales cuando los coeficientes pertenecen a un anillo, aunque la búsqueda de las soluciones en ese caso puede ser un poco más complicada.</div><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em;">Una característica importante de los sistemas lineales de ecuaciones es que admiten la llamada <b>forma matricial</b>. Esa forma permite representar el sistema usando tres <a class="mw-redirect" href="http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Matriz (matemáticas)">matrices</a>, de la siguiente forma:</div><blockquote style="background-color: white; color: black; margin-bottom: 0.8em; margin-left: 30px; margin-top: 0.5em; min-width: 50%; padding-bottom: 5px; padding-left: 10px; padding-right: 10px; padding-top: 5px; text-align: left;"><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em;"><br />
<img alt="
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1Y} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2Y} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{X1} & a_{X2} & \cdots & a_{XY} \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_Y
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
b_1 \\
b_2 \\
\vdots \\
b_X
\end{pmatrix}
" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/d/3/d/d3d71806a01f5a3490b7d038c1650f43.png" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; vertical-align: middle;" /></div></blockquote><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em;">La primera es la matriz de coeficientes, donde el término <img alt="a_{ij}\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/9/a/9/9a950bc177945a1e11bebd95cd8f2c87.png" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; vertical-align: middle;" /> representa al coeficiente que acompaña a la <i>j-ésima</i> incógnita de la ecuación <i>i-ésima</i>. La segunda es la matriz de incógnitas, donde cada término se corresponde con una de las <img alt="Y\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/3/0/8/308ec5a36743f229fd6d9b245bfb4e81.png" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; vertical-align: middle;" /> incógnitas que queremos averiguar. Y la tercera matriz es la de términos independientes, donde el cada <img alt="b_i\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/d/5/4/d54e46539fb4172bc2787a028ef123ce.png" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; vertical-align: middle;" /> representa al término independiente de la ecuación <i>i-ésima</i>.</div><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em;">Esta representación matricial facilita el uso de algunos métodos de resolución, como el <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Eliminaci%C3%B3n_de_Gauss-Jordan" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Eliminación de Gauss-Jordan">método de Gauss</a>, en el que, partiendo de la <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_aumentada" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">matriz aumentada</a> (matriz de coeficientes a la que se le ha acoplado la matriz de términos independientes), y aplicando transformaciones lineales sobre las ecuaciones, pretendemos llegar a una matriz de este tipo:</div><blockquote style="background-color: white; color: black; margin-bottom: 0.8em; margin-left: 30px; margin-top: 0.5em; min-width: 50%; padding-bottom: 5px; padding-left: 10px; padding-right: 10px; padding-top: 5px; text-align: left;"><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em;"><img alt="
\begin{pmatrix}
1 & 0 & \cdots & 0 & b_1 \\
0 & 1 & \cdots & 0 & b_2 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1 & b_X \end{pmatrix}
" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/d/d/0/dd0bad3a5e1eec004d49821b5f68a1e7.png" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; vertical-align: middle;" /></div></blockquote><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em;">Una vez la matriz se ha triangulado, el valor de cada término <img alt="b_i\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/d/5/4/d54e46539fb4172bc2787a028ef123ce.png" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; vertical-align: middle;" /> se corresponderá con el de la incógnita <img alt="x_i\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/a/c/8/ac840fba3ce6957bef1a8b6fd5044da3.png" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; vertical-align: middle;" />. Si nos encontramos alguna fila del tipo <img alt="\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & b_X \\\end{pmatrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/4/b/6/4b6511f013204570ff2f7eaeda799556.png" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; vertical-align: middle;" />, con <img alt="b_X\ne0\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/b/8/4/b84e85d99703963cf299a59123c2f34c.png" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; vertical-align: middle;" />, el sistema no tendrá solución.</div><h2 style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; border-bottom-color: rgb(170, 170, 170); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; color: black; font-size: 19px; font-weight: normal; margin-bottom: 0.6em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; overflow-x: hidden; overflow-y: hidden; padding-bottom: 0.17em; padding-top: 0.5em; width: auto;"><span class="mw-headline" id="Existencia_de_soluciones"><br />
Existencia de soluciones</span></h2><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em;">El <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_la_funci%C3%B3n_inversa" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">teorema de la función inversa</a> proporciona <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Condici%C3%B3n_necesaria_y_suficiente" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Condición necesaria y suficiente">condiciones suficientes</a> de existencia de solución, de un sistema como (<span class="plainlinksneverexpand" id="Eqnref_1" style="background-attachment: initial !important; background-clip: initial !important; background-color: initial !important; background-image: none !important; background-origin: initial !important; padding-bottom: 0px !important; padding-left: 0px !important; padding-right: 0px !important; padding-top: 0px !important;"><a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuaciones#Equation_1" style="background-attachment: initial !important; background-clip: initial !important; background-color: initial !important; background-image: none !important; background-origin: initial !important; background-position: initial initial !important; background-repeat: initial initial !important; color: #0645ad; padding-bottom: 0px !important; padding-left: 0px !important; padding-right: 0px !important; padding-top: 0px !important; text-decoration: none;">1</a></span>) con <img alt="m = n\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/8/f/6/8f660843a479a39584d56ac5a2b2e904.png" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; vertical-align: middle;" />. Si sucede que la función vectorial:</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"></div><div style="clear: left; float: left; line-height: 1.5em; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em; margin-top: 0.4em;"><img alt="\mathbf{F}:\R^n \longrightarrow \R^n, \qquad
(x_1,\dots,x_n) \mapsto (F_1(x_1,\dots,x_n),\dots,F_n(x_1,\dots,x_n))" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/9/8/e/98e07aebee8e340102aabd06da97b190.png" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; vertical-align: middle;" /></div><br />
<blockquote style="background-color: white; color: black; margin-bottom: 0.8em; margin-left: 30px; margin-top: 0.5em; min-width: 50%; padding-bottom: 5px; padding-left: 10px; padding-right: 10px; padding-top: 5px; text-align: left;"></blockquote><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em;"><br />
</div><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em;">Es diferenciable con continuidad, es decir, es de clase <img alt="C^1(\R^n)" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/f/e/1/fe1d1fcb5c336beef45bbb2095bf4c6b.png" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; vertical-align: middle;" /> y su <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Jacobiano" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">jacobiano</a> no se anula en ningún punto entonces existe una única solución del sistema (<span class="plainlinksneverexpand" id="Eqnref_1" style="background-attachment: initial !important; background-clip: initial !important; background-color: initial !important; background-image: none !important; background-origin: initial !important; padding-bottom: 0px !important; padding-left: 0px !important; padding-right: 0px !important; padding-top: 0px !important;"><a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuaciones#Equation_1" style="background-attachment: initial !important; background-clip: initial !important; background-color: initial !important; background-image: none !important; background-origin: initial !important; background-position: initial initial !important; background-repeat: initial initial !important; color: #0645ad; padding-bottom: 0px !important; padding-left: 0px !important; padding-right: 0px !important; padding-top: 0px !important; text-decoration: none;">1</a></span>). Ya que en ese caso existirá una función inversa, y podremos escribir la solución buscada simplemente como:</div><blockquote style="background-color: white; color: black; margin-bottom: 0.8em; margin-left: 30px; margin-top: 0.5em; min-width: 50%; padding-bottom: 5px; padding-left: 10px; padding-right: 10px; padding-top: 5px; text-align: left;"><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em;"><img alt="(x_1,\dots,x_n)=\mathbf{F}^{-1}(\mathbf{0})" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/4/6/e/46e68d6ec486a775f14df3e925809421.png" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; vertical-align: middle;" /></div></blockquote><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em;">Sin embargo, la condición de diferenciabilidad anterior aún siendo condición suficiente, no es una condición necesaria, por lo que existen sistemas de ecuaciones en que las funciones <img alt="F_i\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/e/a/f/eafb19d29d6ab1f3cb65b7667f857d6a.png" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; vertical-align: middle;" /> no son diferenciables y sin embargo, existen soluciones. Más aún, en casos en que existe más de una solución si la función es diferenciable entonces el jacobiano se anula en algún punto, pero eso no impide que existan varias soluciones.</div><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em;">En casos de un menor número de ecuaciones que de incógnitas, cuando <img alt="m < n\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/5/c/2/5c283e15ef5a697b00b4a908fe43d816.png" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; vertical-align: middle;" />, entonces el sistema es compatible indeterminado o carece de soluciones. En esos casos, el <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_la_funci%C3%B3n_impl%C3%ADcita" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">teorema de la función implícita</a> proporciona condiciones suficientes, aunque no necesarias, para la existencia de soluciones de un modo similar a como el teorema de la función inversa las proporciona en el caso <img alt="m = n\," class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/8/f/6/8f660843a479a39584d56ac5a2b2e904.png" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; vertical-align: middle;" />.</div><h2 style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; border-bottom-color: rgb(170, 170, 170); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; color: black; font-size: 19px; font-weight: normal; margin-bottom: 0.6em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; overflow-x: hidden; overflow-y: hidden; padding-bottom: 0.17em; padding-top: 0.5em; width: auto;"><span class="mw-headline" id="N.C3.BAmero_de_soluciones"><br />
Número de soluciones</span></h2><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em;">Un <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuaciones_lineales" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">sistema de ecuaciones lineales</a> compatibles y determinados la solución es siempre única. En el caso de ecuaciones polinómicas la respuesta es más complicada, aunque puede probarse que dos <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Polinomio" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Polinomio">curvas polinómicas</a> en el plano de grados <i>n</i> y <i>m</i> funcionalmente independientes se tienen como mucho <i>nm</i> soluciones diferentes. Ese resultado se desprende del siguiente teorema de Bézout:</div><dl style="margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.2em;"><dd style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.1em; margin-left: 2em;"><i>Dos curvas del plano proyectivo complejo <img alt="\mathbb{CP}^2" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/d/1/0/d10c501cd9f9959eba025561ce563ca9.png" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; vertical-align: middle;" />, de grados</i> n <i>y</i> m <i>sin componentes comunes se cortan exactamente en</i> mn <i>puntos contados con multiplicidad.</i></dd></dl><h2 style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; border-bottom-color: rgb(170, 170, 170); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 1px; color: black; font-size: 19px; font-weight: normal; margin-bottom: 0.6em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; overflow-x: hidden; overflow-y: hidden; padding-bottom: 0.17em; padding-top: 0.5em; width: auto;"><span class="mw-headline" id="M.C3.A9todos_de_resoluci.C3.B3n"><br />
Métodos de resolución</span></h2><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em;">Si bien para los sistemas de ecuaciones lineales existen multitud de técnicas del álgebra lineal, para los sistemas de ecuaciones no-lineales el problema es técnicamente bastante más difícil.</div><h3 style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; border-bottom-color: initial; border-bottom-style: none; border-bottom-width: initial; color: black; font-size: 17px; font-weight: bold; margin-bottom: 0.3em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; overflow-x: hidden; overflow-y: hidden; padding-bottom: 0.17em; padding-top: 0.5em; width: auto;"><span class="mw-headline" id="M.C3.A9todos_anal.C3.ADticos"><br />
Métodos analíticos</span></h3><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em;">Los métodos analíticos se restringen casi exclusivamente a sistemas de ecuaciones lineales. Ni siquiera se conoce una solución analítica para el sistema de ecuaciones de segundo grado general:</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"></div><div style="clear: left; float: left; line-height: 1.5em; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em; margin-top: 0.4em;"><img alt="\begin{matrix}
a_{1,11}x^2_1 + a_{1,12}x_1x_2 + \dots + a_{1,nn}x_n^2 + b_{1,1}x_1 + \dots + b_{1,n}x_n + c_1= 0 \\
a_{2,11}x^2_1 + a_{2,12}x_1x_2 + \dots + a_{2,nn}x_n^2 + b_{2,1}x_1 + \dots + b_{2,n}x_n + c_2= 0 \\
\dots \\
a_{n,11}x^2_1 + a_{n,12}x_1x_2 + \dots + a_{n,nn}x_n^2 + b_{n,1}x_1 + \dots + b_{n,n}x_n + c_n= 0
\end{matrix}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/a/9/8/a98497448631a20f9c54b16e72f27c69.png" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; vertical-align: middle;" /></div><br />
<blockquote style="background-color: white; color: black; margin-bottom: 0.8em; margin-left: 30px; margin-top: 0.5em; min-width: 50%; padding-bottom: 5px; padding-left: 10px; padding-right: 10px; padding-top: 5px; text-align: left;"></blockquote><h3 style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; border-bottom-color: initial; border-bottom-style: none; border-bottom-width: initial; color: black; font-size: 17px; font-weight: bold; margin-bottom: 0.3em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; overflow-x: hidden; overflow-y: hidden; padding-bottom: 0.17em; padding-top: 0.5em; width: auto;"><span class="mw-headline" id="M.C3.A9todos_num.C3.A9ricos"><br />
</span></h3><h3 style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; border-bottom-color: initial; border-bottom-style: none; border-bottom-width: initial; color: black; font-size: 17px; font-weight: bold; margin-bottom: 0.3em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; overflow-x: hidden; overflow-y: hidden; padding-bottom: 0.17em; padding-top: 0.5em; width: auto;"><span class="mw-headline" id="M.C3.A9todos_num.C3.A9ricos"><br />
</span></h3><h3 style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; border-bottom-color: initial; border-bottom-style: none; border-bottom-width: initial; color: black; font-size: 17px; font-weight: bold; margin-bottom: 0.3em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; overflow-x: hidden; overflow-y: hidden; padding-bottom: 0.17em; padding-top: 0.5em; width: auto;"><span class="mw-headline" id="M.C3.A9todos_num.C3.A9ricos"><br />
</span></h3><h3 style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; border-bottom-color: initial; border-bottom-style: none; border-bottom-width: initial; color: black; font-size: 17px; font-weight: bold; margin-bottom: 0.3em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; overflow-x: hidden; overflow-y: hidden; padding-bottom: 0.17em; padding-top: 0.5em; width: auto;"><span class="mw-headline" id="M.C3.A9todos_num.C3.A9ricos">Métodos </span>numéricos</h3><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em;">Las aplicaciones técnicas generalmente recurren a algoritmos numéricos que permiten calcular aproximaciones numéricas a las soluciones de un sistema de ecuaciones.</div><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em;">Uno de los métodos numéricos que puede generalizarse a sistemas no-lineales es el <a class="mw-redirect" href="http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Newton-Raphson" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Método de Newton-Raphson">método de Newton-Raphson</a>. En el caso multidimensional la resolución numérica del sistema de <i>n</i> ecuaciones <img alt="\scriptstyle \mathbf{f}(\mathbf{x}) = \mathbf{f}(x_1, \dots, x_n)=0" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/c/c/1/cc16da62b493f97d97c777b020362451.png" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; vertical-align: middle;" /> puede hacerse a partir del conocimiento de una solución aproximada <img alt="\scriptstyle \mathbf{x}^{(0)} = (x_1^{(0)}, \dots, x_n^{(0)})" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/0/9/f/09f4d98cb534ae0f0379865e37513394.png" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; vertical-align: middle;" />, siempre y cuando la aplicación anterior sea difernciable, mediante el esquema iterativo:</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"></div><div style="line-height: 1.5em; margin-left: 1em; margin-right: 1em; margin-top: 0.4em;"><img alt="\mathbf{x}^{(m+1)} = \mathbf{x}^{(m)} - [D\mathbf{f}(\mathbf{x}^{(m)})]^{-1}(\mathbf{f}(\mathbf{x}^{(m))}), \qquad \mathbf{f}:\R^n \to \R^n,\ \mathbf{f}\in C^{(1)}(\R^n;\R^n)" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/4/7/b/47b55c8103dcddc4a726197d531130a5.png" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; vertical-align: middle;" /></div><br />
<blockquote style="background-color: white; color: black; margin-bottom: 0.8em; margin-left: 30px; margin-top: 0.5em; min-width: 50%; padding-bottom: 5px; padding-left: 10px; padding-right: 10px; padding-top: 5px; text-align: left;"></blockquote><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em;">O más explícitamente:</div><blockquote style="background-color: white; color: black; margin-bottom: 0.8em; margin-left: 30px; margin-top: 0.5em; min-width: 50%; padding-bottom: 5px; padding-left: 10px; padding-right: 10px; padding-top: 5px; text-align: left;"><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em;"><img alt="\begin{bmatrix} x^{(m+1)}_1\\ \dots \\ x^{(m+1)}_n \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} x^{(m)}_1\\ \dots \\ x^{(m)}_n \end{bmatrix} -
\begin{bmatrix} D_1f_1 & \dots & D_nf_1 \\ \dots \\ D_1f_n & \dots & D_nf_n \end{bmatrix}^{-1}
\begin{bmatrix} f_1(\mathbf{x}^{(m)})\\ \dots \\ f_n(\mathbf{x}^{(m)}) \end{bmatrix}
" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/a/2/1/a214729eb8fb9a16337dea49cf343642.png" style="border-bottom-style: none; border-color: initial; border-left-style: none; border-right-style: none; border-top-style: none; border-width: initial; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; vertical-align: middle;" /></div></blockquote><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em;">Lamentablemente la <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Convergencia" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #0645ad; text-decoration: none;">convergencia</a> del esquema iterativo anterior no está garantizada y en casos de soluciones múltiples la convergencia puede darse hacia la solución no deseada.</div><h3 style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: initial; background-image: none; background-origin: initial; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; border-bottom-color: initial; border-bottom-style: none; border-bottom-width: initial; color: black; font-size: 17px; font-weight: bold; margin-bottom: 0.3em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; overflow-x: hidden; overflow-y: hidden; padding-bottom: 0.17em; padding-top: 0.5em; width: auto;"><span class="mw-headline" id="M.C3.A9todos_gr.C3.A1ficos"><br />
Métodos gráficos</span></h3><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em;">Los métodos gráficos son didácticos e ilustrativos, aunque en general carecen de interés práctico en las aplicaciones técnicas de importancia. Además están restringidos generalmente a sistemas de dos o tres ecuaciones reales.</div><div style="line-height: 1.5em; margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em;">Dos sistemas de ecuaciones con dos incógnitas de valor real, suelen aparecer como uno de los cinco tipos diferentes mencionados a continuación. Tienen una relación con el número de soluciones:</div><ol style="line-height: 1.5em; list-style-image: none; margin-bottom: 0px; margin-left: 3.2em; margin-right: 0px; margin-top: 0.3em; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px;"><li style="margin-bottom: 0.1em;">Aquellos sistemas de ecuaciones que representan gráficamente rectas y curvas que se intersecan entre sí. Este tipo de sistema de ecuación es considerado como el normal. Suele tener un número de soluciones finito cada uno formado por las coordenadas de los punto de intersección.</li>
<li style="margin-bottom: 0.1em;">Sistemas que tienen simplificaciones falsas. Por ejemplo: 1 = 0. Gráficamente se representan como un conjunto de líneas que nunca se intersecan entre sí, como líneas paralelas.</li>
<li style="margin-bottom: 0.1em;">Sistemas de ecuaciones en las que ambos simplificar a una identidad (por ejemplo, x = 2x - y o y - x = 0). Cualquier asignación de valores a las variables desconocidas satisface las ecuaciones. Por lo tanto, hay un número infinito de soluciones, que gráficamente, se representa como todos los puntos del plano que representa la solución.</li>
<li style="margin-bottom: 0.1em;">Sistemas en los que las dos ecuaciones representan el mismo conjunto de puntos: son matemáticamente equivalentes (una ecuación general puede ser transformada en otra a través de la manipulación algebraica). Estos sistemas representan completamente la superposición de líneas o curvas, etc Una de las dos ecuaciones es redundante y puede ser desechada. Cada punto de la serie de puntos corresponde a una solución. Generalmente, esto significa que hay un número infinito de soluciones.</li>
<li style="margin-bottom: 0.1em;">Sistemas en los que una (y sólo una) de las dos ecuaciones se simplifica a una identidad. Por lo tanto, es redundante y puede ser descartada, según el tipo anterior. Cada punto de la serie de puntos representados por los demás es una solución de la ecuación de los que hay a continuación, por lo general un número infinito.</li>
</ol><div style="margin-bottom: 0.5em; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0.4em;"><div style="line-height: 1.5em;">La ecuación x<sup style="line-height: 1em;">2</sup> + y<sup style="line-height: 1em;">2</sup> = 0 puede ser pensada como la ecuación de un círculo cuyo radio se ha reducido a cero, por lo que representa un único punto: (x = 0, y = 0), a diferencia de una normal de un círculo que contiene infinito número de puntos. Este y otros casos similares muestran la razón por la cual los dos últimos tipos anteriormente descritos necesitan la calificación de "normalmente". Un ejemplo de un sistema de ecuaciones del primer tipo descrito anteriormente, con un número infinito de soluciones viene dada por x = | x |, y = | y | (donde la notación | • | indica el valor absoluto de la función), cuyas soluciones de forma un cuadrante de la x - y plano. Otro ejemplo es x = | y |, y = | x |, cuya solución representa un rayo.</div><span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; letter-spacing: 1px; word-spacing: 2px;"></span><br />
<h3 class="r" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: white; background-image: initial; background-origin: initial; border-bottom-width: 0px; border-color: initial; border-left-width: 0px; border-right-width: 0px; border-style: initial; border-top-width: 0px; color: #990000; font-size: 1.1em; font-weight: bold; line-height: 1.5em; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><br />
</h3><h3 class="r" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: white; background-image: initial; background-origin: initial; border-bottom-width: 0px; border-color: initial; border-left-width: 0px; border-right-width: 0px; border-style: initial; border-top-width: 0px; color: #990000; font-size: 1.1em; font-weight: bold; line-height: 1.5em; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><br />
</h3><h3 class="r" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: white; background-image: initial; background-origin: initial; border-bottom-width: 0px; border-color: initial; border-left-width: 0px; border-right-width: 0px; border-style: initial; border-top-width: 0px; line-height: 1.5em; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="font-size: small;">Resolución de sistemas de ecuaciones por el método de sustitución</span></h3><div class="actividades_g" style="background-color: white; border-bottom-width: 0px; border-color: initial; border-left-width: 0px; border-right-width: 0px; border-style: initial; border-top-width: 0px; color: black; font-size: 12px; left: 5%; line-height: 1.75em; margin-bottom: 20px; margin-left: 20px; margin-right: 20px; margin-top: 30px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; position: relative; text-align: justify; text-indent: 2.5em; width: 697px;"><span class="numero_r" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: rgba(0, 0, 0, 0); background-image: initial; background-origin: initial; color: #990000; font-size: 1.2em; font-weight: bold; margin-right: 1em;">1</span> Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.</div><div class="actividades_v" style="background-color: white; border-bottom-width: 0px; border-color: initial; border-left-width: 0px; border-right-width: 0px; border-style: initial; border-top-width: 0px; color: black; font-size: 12px; left: 5%; line-height: 1.75em; margin-bottom: 20px; margin-left: 20px; margin-right: 20px; margin-top: 20px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; position: relative; text-align: justify; text-indent: 2.5em; width: 697px;"><span class="numero_r" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: rgba(0, 0, 0, 0); background-image: initial; background-origin: initial; color: #990000; font-size: 1.2em; font-weight: bold; margin-right: 1em;">2</span> Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo un ecuación con una sola incógnita.</div><div class="actividades_g" style="background-color: white; border-bottom-width: 0px; border-color: initial; border-left-width: 0px; border-right-width: 0px; border-style: initial; border-top-width: 0px; color: black; font-size: 12px; left: 5%; line-height: 1.75em; margin-bottom: 20px; margin-left: 20px; margin-right: 20px; margin-top: 20px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; position: relative; text-align: justify; text-indent: 2.5em; width: 697px;"><span class="numero_r" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: rgba(0, 0, 0, 0); background-image: initial; background-origin: initial; color: #990000; font-size: 1.2em; font-weight: bold; margin-right: 1em;">3</span> Se resuelve la ecuación.</div><div class="actividades_v" style="background-color: white; border-bottom-width: 0px; border-color: initial; border-left-width: 0px; border-right-width: 0px; border-style: initial; border-top-width: 0px; color: black; font-size: 12px; left: 5%; line-height: 1.75em; margin-bottom: 20px; margin-left: 20px; margin-right: 20px; margin-top: 20px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; position: relative; text-align: justify; text-indent: 2.5em; width: 697px;"><span class="numero_r" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: rgba(0, 0, 0, 0); background-image: initial; background-origin: initial; color: #990000; font-size: 1.2em; font-weight: bold; margin-right: 1em;">4</span> El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada.</div><div class="actividades_g" style="background-color: white; border-bottom-width: 0px; border-color: initial; border-left-width: 0px; border-right-width: 0px; border-style: initial; border-top-width: 0px; color: black; font-size: 12px; left: 5%; line-height: 1.75em; margin-bottom: 20px; margin-left: 20px; margin-right: 20px; margin-top: 20px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; position: relative; text-align: justify; text-indent: 2.5em; width: 697px;"><span class="numero_r" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: rgba(0, 0, 0, 0); background-image: initial; background-origin: initial; color: #990000; font-size: 1.2em; font-weight: bold; margin-right: 1em;">5</span> Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.</div><div class="actividades_2_r_ir" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: white; background-image: url(http://www.vitutor.org/images/ul_v_5.png); background-origin: initial; background-position: 0% 50%; background-repeat: no-repeat no-repeat; border-bottom-width: 0px; border-color: initial; border-left-width: 0px; border-right-width: 0px; border-style: initial; border-top-width: 0px; color: black; font-size: 12px; left: 12.5%; line-height: 1.75em; margin-bottom: 20px; margin-left: 20px; margin-right: 20px; margin-top: 20px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; position: relative; text-align: justify; text-indent: 2.5em; top: 10px; width: 615px;"><img alt="sistema" height="48" src="http://www.vitutor.org/ecuaciones/sistemas/images/2.gif" width="110" /></div><div class="actividades_g" style="background-color: white; border-bottom-width: 0px; border-color: initial; border-left-width: 0px; border-right-width: 0px; border-style: initial; border-top-width: 0px; color: black; font-size: 12px; left: 5%; line-height: 1.75em; margin-bottom: 20px; margin-left: 20px; margin-right: 20px; margin-top: 30px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; position: relative; text-align: justify; text-indent: 2.5em; width: 697px;"><span class="numero_r" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: rgba(0, 0, 0, 0); background-image: initial; background-origin: initial; color: #990000; font-size: 1.2em; font-weight: bold; margin-right: 1em;">1</span> <strong>Despejamos</strong> una de las incógnitas en una de las dos ecuaciones. Elegimos la incógnita que tenga el coeficiente más bajo.</div><div class="actividades_2_v_ir" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: white; background-image: url(http://www.vitutor.org/images/ul_r_5.png); background-origin: initial; background-position: 0% 50%; background-repeat: no-repeat no-repeat; border-bottom-width: 0px; border-color: initial; border-left-width: 0px; border-right-width: 0px; border-style: initial; border-top-width: 0px; color: black; font-size: 12px; left: 12.5%; line-height: 1.75em; margin-bottom: 20px; margin-left: 20px; margin-right: 20px; margin-top: 20px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; position: relative; text-align: justify; text-indent: 2.5em; top: 10px; width: 615px;"><img alt="despejar" height="21" src="http://www.vitutor.org/ecuaciones/sistemas/images/11.gif" width="324" /></div><div class="actividades_g" style="background-color: white; border-bottom-width: 0px; border-color: initial; border-left-width: 0px; border-right-width: 0px; border-style: initial; border-top-width: 0px; color: black; font-size: 12px; left: 5%; line-height: 1.75em; margin-bottom: 20px; margin-left: 20px; margin-right: 20px; margin-top: 30px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; position: relative; text-align: justify; text-indent: 2.5em; width: 697px;"><span class="numero_r" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: rgba(0, 0, 0, 0); background-image: initial; background-origin: initial; color: #990000; font-size: 1.2em; font-weight: bold; margin-right: 1em;">2</span> <strong>Sustituimos</strong> en la otra ecuación la variable x, por el valor anterior:</div><div class="actividades_2_v_ir" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: white; background-image: url(http://www.vitutor.org/images/ul_r_5.png); background-origin: initial; background-position: 0% 50%; background-repeat: no-repeat no-repeat; border-bottom-width: 0px; border-color: initial; border-left-width: 0px; border-right-width: 0px; border-style: initial; border-top-width: 0px; color: black; font-size: 12px; left: 12.5%; line-height: 1.75em; margin-bottom: 20px; margin-left: 20px; margin-right: 20px; margin-top: 20px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; position: relative; text-align: justify; text-indent: 2.5em; top: 10px; width: 615px;"><img alt="ecuación" height="26" src="http://www.vitutor.org/ecuaciones/sistemas/images/12.gif" width="153" /></div><div class="actividades_g" style="background-color: white; border-bottom-width: 0px; border-color: initial; border-left-width: 0px; border-right-width: 0px; border-style: initial; border-top-width: 0px; color: black; font-size: 12px; left: 5%; line-height: 1.75em; margin-bottom: 20px; margin-left: 20px; margin-right: 20px; margin-top: 30px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; position: relative; text-align: justify; text-indent: 2.5em; width: 697px;"><span class="numero_r" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: rgba(0, 0, 0, 0); background-image: initial; background-origin: initial; color: #990000; font-size: 1.2em; font-weight: bold; margin-right: 1em;">3</span> <strong>Resolvemos la ecuación</strong> obtenida:</div><div class="actividades_2_v_ir" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: white; background-image: url(http://www.vitutor.org/images/ul_r_5.png); background-origin: initial; background-position: 0% 50%; background-repeat: no-repeat no-repeat; border-bottom-width: 0px; border-color: initial; border-left-width: 0px; border-right-width: 0px; border-style: initial; border-top-width: 0px; color: black; font-size: 12px; left: 12.5%; line-height: 1.75em; margin-bottom: 20px; margin-left: 20px; margin-right: 20px; margin-top: 20px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; position: relative; text-align: justify; text-indent: 2.5em; top: 10px; width: 615px;"><img alt="ecuación ecuación" height="21" src="http://www.vitutor.org/ecuaciones/sistemas/images/13.gif" width="381" /></div><div class="actividades_g" style="background-color: white; border-bottom-width: 0px; border-color: initial; border-left-width: 0px; border-right-width: 0px; border-style: initial; border-top-width: 0px; color: black; font-size: 12px; left: 5%; line-height: 1.75em; margin-bottom: 20px; margin-left: 20px; margin-right: 20px; margin-top: 30px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; position: relative; text-align: justify; text-indent: 2.5em; width: 697px;"><span class="numero_r" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: rgba(0, 0, 0, 0); background-image: initial; background-origin: initial; color: #990000; font-size: 1.2em; font-weight: bold; margin-right: 1em;">4</span> <strong>Sustituimos el valor</strong> obtenido en la variable despejada.</div><div class="actividades_2_v_ir" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: white; background-image: url(http://www.vitutor.org/images/ul_r_5.png); background-origin: initial; background-position: 0% 50%; background-repeat: no-repeat no-repeat; border-bottom-width: 0px; border-color: initial; border-left-width: 0px; border-right-width: 0px; border-style: initial; border-top-width: 0px; color: black; font-size: 12px; left: 12.5%; line-height: 1.75em; margin-bottom: 20px; margin-left: 20px; margin-right: 20px; margin-top: 20px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; position: relative; text-align: justify; text-indent: 2.5em; top: 10px; width: 615px;"><img alt="solución" height="18" src="http://www.vitutor.org/ecuaciones/sistemas/images/14.gif" width="286" /></div><div class="actividades_g" style="background-color: white; border-bottom-width: 0px; border-color: initial; border-left-width: 0px; border-right-width: 0px; border-style: initial; border-top-width: 0px; color: black; font-size: 12px; left: 5%; line-height: 1.75em; margin-bottom: 20px; margin-left: 20px; margin-right: 20px; margin-top: 30px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; position: relative; text-align: justify; text-indent: 2.5em; width: 697px;"><span class="numero_r" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: rgba(0, 0, 0, 0); background-image: initial; background-origin: initial; color: #990000; font-size: 1.2em; font-weight: bold; margin-right: 1em;">5</span><strong> Solución</strong></div><div class="actividades_2_v_ir" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: white; background-image: url(http://www.vitutor.org/images/ul_r_5.png); background-origin: initial; background-position: 0% 50%; background-repeat: no-repeat no-repeat; border-bottom-width: 0px; border-color: initial; border-left-width: 0px; border-right-width: 0px; border-style: initial; border-top-width: 0px; color: black; font-size: 12px; left: 12.5%; line-height: 1.75em; margin-bottom: 20px; margin-left: 20px; margin-right: 20px; margin-top: 20px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; position: relative; text-align: justify; text-indent: 2.5em; top: 10px; width: 615px;"><img alt="solución" height="21" src="http://www.vitutor.org/ecuaciones/sistemas/images/15.gif" width="112" /> </div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><iframe allowfullscreen='allowfullscreen' webkitallowfullscreen='webkitallowfullscreen' mozallowfullscreen='mozallowfullscreen' width='320' height='266' src='https://www.youtube.com/embed/Ez06kgBtuNI?feature=player_embedded' frameborder='0'></iframe></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br />
</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;"><span class="Apple-style-span" style="line-height: 24px;"></span></div><h3 class="r" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: white; background-image: initial; background-origin: initial; border-bottom-width: 0px; border-color: initial; border-left-width: 0px; border-right-width: 0px; border-style: initial; border-top-width: 0px; font-weight: bold; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-size: small;">Resolución de sistemas de ecuaciones por el método de igualación</span></h3><div class="actividades_g" style="background-color: white; border-bottom-width: 0px; border-color: initial; border-left-width: 0px; border-right-width: 0px; border-style: initial; border-top-width: 0px; color: black; font-size: 12px; left: 5%; line-height: 1.75em; margin-bottom: 20px; margin-left: 20px; margin-right: 20px; margin-top: 30px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; position: relative; text-indent: 2.5em; width: 697px;"><span class="numero_r" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: rgba(0, 0, 0, 0); background-image: initial; background-origin: initial; color: #990000; font-size: 1.2em; font-weight: bold; margin-right: 1em;">1</span> Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.</div><div class="actividades_v" style="background-color: white; border-bottom-width: 0px; border-color: initial; border-left-width: 0px; border-right-width: 0px; border-style: initial; border-top-width: 0px; color: black; font-size: 12px; left: 5%; line-height: 1.75em; margin-bottom: 20px; margin-left: 20px; margin-right: 20px; margin-top: 20px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; position: relative; text-indent: 2.5em; width: 697px;"><span class="numero_r" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: rgba(0, 0, 0, 0); background-image: initial; background-origin: initial; color: #990000; font-size: 1.2em; font-weight: bold; margin-right: 1em;">2</span> Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita.</div><div class="actividades_g" style="background-color: white; border-bottom-width: 0px; border-color: initial; border-left-width: 0px; border-right-width: 0px; border-style: initial; border-top-width: 0px; color: black; font-size: 12px; left: 5%; line-height: 1.75em; margin-bottom: 20px; margin-left: 20px; margin-right: 20px; margin-top: 20px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; position: relative; text-indent: 2.5em; width: 697px;"><span class="numero_r" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: rgba(0, 0, 0, 0); background-image: initial; background-origin: initial; color: #990000; font-size: 1.2em; font-weight: bold; margin-right: 1em;">3</span> Se resuelve la ecuación.</div><div class="actividades_v" style="background-color: white; border-bottom-width: 0px; border-color: initial; border-left-width: 0px; border-right-width: 0px; border-style: initial; border-top-width: 0px; color: black; font-size: 12px; left: 5%; line-height: 1.75em; margin-bottom: 20px; margin-left: 20px; margin-right: 20px; margin-top: 20px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; position: relative; text-indent: 2.5em; width: 697px;"><span class="numero_r" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: rgba(0, 0, 0, 0); background-image: initial; background-origin: initial; color: #990000; font-size: 1.2em; font-weight: bold; margin-right: 1em;">4</span> El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita.</div><div class="actividades_g" style="background-color: white; border-bottom-width: 0px; border-color: initial; border-left-width: 0px; border-right-width: 0px; border-style: initial; border-top-width: 0px; color: black; font-size: 12px; left: 5%; line-height: 1.75em; margin-bottom: 20px; margin-left: 20px; margin-right: 20px; margin-top: 20px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; position: relative; text-indent: 2.5em; width: 697px;"><span class="numero_r" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: rgba(0, 0, 0, 0); background-image: initial; background-origin: initial; color: #990000; font-size: 1.2em; font-weight: bold; margin-right: 1em;">5</span> Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.</div><div class="actividades_2_r_ir" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: white; background-image: url(http://www.vitutor.org/images/ul_v_5.png); background-origin: initial; background-position: 0% 50%; background-repeat: no-repeat no-repeat; border-bottom-width: 0px; border-color: initial; border-left-width: 0px; border-right-width: 0px; border-style: initial; border-top-width: 0px; color: black; font-size: 12px; left: 12.5%; line-height: 1.75em; margin-bottom: 20px; margin-left: 20px; margin-right: 20px; margin-top: 20px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; position: relative; text-indent: 2.5em; top: 10px; width: 615px;"><img alt="sistema" height="48" src="http://www.vitutor.org/ecuaciones/sistemas/images/2.gif" width="110" /></div><div class="actividades_g" style="background-color: white; border-bottom-width: 0px; border-color: initial; border-left-width: 0px; border-right-width: 0px; border-style: initial; border-top-width: 0px; color: black; font-size: 12px; left: 5%; line-height: 1.75em; margin-bottom: 20px; margin-left: 20px; margin-right: 20px; margin-top: 30px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; position: relative; text-indent: 2.5em; width: 697px;"><span class="numero_r" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: rgba(0, 0, 0, 0); background-image: initial; background-origin: initial; color: #990000; font-size: 1.2em; font-weight: bold; margin-right: 1em;">1</span><strong> Despejamos</strong>, por ejemplo, la incógnita <strong>x</strong> de la primera y segunda ecuación:</div><div class="actividades_2_v_ir" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: white; background-image: url(http://www.vitutor.org/images/ul_r_5.png); background-origin: initial; background-position: 0% 50%; background-repeat: no-repeat no-repeat; border-bottom-width: 0px; border-color: initial; border-left-width: 0px; border-right-width: 0px; border-style: initial; border-top-width: 0px; color: black; font-size: 12px; left: 12.5%; line-height: 1.75em; margin-bottom: 20px; margin-left: 20px; margin-right: 20px; margin-top: 20px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; position: relative; text-indent: 2.5em; top: 10px; width: 615px;"><img alt="despejar" height="42" src="http://www.vitutor.org/ecuaciones/sistemas/images/16.gif" width="241" /></div><div class="actividades_2_r_ir" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: white; background-image: url(http://www.vitutor.org/images/ul_v_5.png); background-origin: initial; background-position: 0% 50%; background-repeat: no-repeat no-repeat; border-bottom-width: 0px; border-color: initial; border-left-width: 0px; border-right-width: 0px; border-style: initial; border-top-width: 0px; color: black; font-size: 12px; left: 12.5%; line-height: 1.75em; margin-bottom: 20px; margin-left: 20px; margin-right: 20px; margin-top: 20px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; position: relative; text-indent: 2.5em; top: 10px; width: 615px;"><img alt="despejar" height="42" src="http://www.vitutor.org/ecuaciones/sistemas/images/16_1.gif" width="241" /></div><div class="actividades_g" style="background-color: white; border-bottom-width: 0px; border-color: initial; border-left-width: 0px; border-right-width: 0px; border-style: initial; border-top-width: 0px; color: black; font-size: 12px; left: 5%; line-height: 1.75em; margin-bottom: 20px; margin-left: 20px; margin-right: 20px; margin-top: 30px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; position: relative; text-indent: 2.5em; width: 697px;"><span class="numero_r" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: rgba(0, 0, 0, 0); background-image: initial; background-origin: initial; color: #990000; font-size: 1.2em; font-weight: bold; margin-right: 1em;">2</span> <strong>Igualamos</strong> ambas expresiones:</div><div class="actividades_2_v_ir" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: white; background-image: url(http://www.vitutor.org/images/ul_r_5.png); background-origin: initial; background-position: 0% 50%; background-repeat: no-repeat no-repeat; border-bottom-width: 0px; border-color: initial; border-left-width: 0px; border-right-width: 0px; border-style: initial; border-top-width: 0px; color: black; font-size: 12px; left: 12.5%; line-height: 1.75em; margin-bottom: 20px; margin-left: 20px; margin-right: 20px; margin-top: 20px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; position: relative; text-indent: 2.5em; top: 10px; width: 615px;"><img alt="ecuación" height="42" src="http://www.vitutor.org/ecuaciones/sistemas/images/17.gif" width="145" /></div><div class="actividades_g" style="background-color: white; border-bottom-width: 0px; border-color: initial; border-left-width: 0px; border-right-width: 0px; border-style: initial; border-top-width: 0px; color: black; font-size: 12px; left: 5%; line-height: 1.75em; margin-bottom: 20px; margin-left: 20px; margin-right: 20px; margin-top: 30px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; position: relative; text-indent: 2.5em; width: 697px;"><span class="numero_r" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: rgba(0, 0, 0, 0); background-image: initial; background-origin: initial; color: #990000; font-size: 1.2em; font-weight: bold; margin-right: 1em;">3</span> <strong>Resolvemos</strong> la ecuación:</div><div class="actividades_2_v_ir" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: white; background-image: url(http://www.vitutor.org/images/ul_r_5.png); background-origin: initial; background-position: 0% 50%; background-repeat: no-repeat no-repeat; border-bottom-width: 0px; border-color: initial; border-left-width: 0px; border-right-width: 0px; border-style: initial; border-top-width: 0px; color: black; font-size: 12px; left: 12.5%; line-height: 1.75em; margin-bottom: 20px; margin-left: 20px; margin-right: 20px; margin-top: 20px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; position: relative; text-indent: 2.5em; top: 10px; width: 615px;"><img alt="ecuación" height="26" src="http://www.vitutor.org/ecuaciones/sistemas/images/18.gif" width="401" /></div><div class="actividades_2_r_ir" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: white; background-image: url(http://www.vitutor.org/images/ul_v_5.png); background-origin: initial; background-position: 0% 50%; background-repeat: no-repeat no-repeat; border-bottom-width: 0px; border-color: initial; border-left-width: 0px; border-right-width: 0px; border-style: initial; border-top-width: 0px; color: black; font-size: 12px; left: 12.5%; line-height: 1.75em; margin-bottom: 20px; margin-left: 20px; margin-right: 20px; margin-top: 20px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; position: relative; text-indent: 2.5em; top: 10px; width: 615px;"><img alt="ecuación" height="21" src="http://www.vitutor.org/ecuaciones/sistemas/images/18_1.gif" width="381" /></div><div class="actividades_g" style="background-color: white; border-bottom-width: 0px; border-color: initial; border-left-width: 0px; border-right-width: 0px; border-style: initial; border-top-width: 0px; color: black; font-size: 12px; left: 5%; line-height: 1.75em; margin-bottom: 20px; margin-left: 20px; margin-right: 20px; margin-top: 30px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; position: relative; text-indent: 2.5em; width: 697px;"><span class="numero_r" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: rgba(0, 0, 0, 0); background-image: initial; background-origin: initial; color: #990000; font-size: 1.2em; font-weight: bold; margin-right: 1em;">4</span> <strong>Sustituimos</strong> el valor de<strong> y</strong>, en una de las dos <strong>expresiones</strong> en las que tenemos<strong>despejada la x</strong>:</div><div class="actividades_2_v_ir" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: white; background-image: url(http://www.vitutor.org/images/ul_r_5.png); background-origin: initial; background-position: 0% 50%; background-repeat: no-repeat no-repeat; border-bottom-width: 0px; border-color: initial; border-left-width: 0px; border-right-width: 0px; border-style: initial; border-top-width: 0px; color: black; font-size: 12px; left: 12.5%; line-height: 1.75em; margin-bottom: 20px; margin-left: 20px; margin-right: 20px; margin-top: 20px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; position: relative; text-indent: 2.5em; top: 10px; width: 615px;"><img alt="solución" height="42" src="http://www.vitutor.org/ecuaciones/sistemas/images/19.gif" width="286" /></div><div class="actividades_g" style="background-color: white; border-bottom-width: 0px; border-color: initial; border-left-width: 0px; border-right-width: 0px; border-style: initial; border-top-width: 0px; color: black; font-size: 12px; left: 5%; line-height: 1.75em; margin-bottom: 20px; margin-left: 20px; margin-right: 20px; margin-top: 30px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; position: relative; text-indent: 2.5em; width: 697px;"><span class="numero_r" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: rgba(0, 0, 0, 0); background-image: initial; background-origin: initial; color: #990000; font-size: 1.2em; font-weight: bold; margin-right: 1em;">5</span><strong> Solución</strong>:</div><div class="actividades_2_v_ir" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: white; background-image: url(http://www.vitutor.org/images/ul_r_5.png); background-origin: initial; background-position: 0% 50%; background-repeat: no-repeat no-repeat; border-bottom-width: 0px; border-color: initial; border-left-width: 0px; border-right-width: 0px; border-style: initial; border-top-width: 0px; color: black; font-size: 12px; left: 12.5%; line-height: 1.75em; margin-bottom: 20px; margin-left: 20px; margin-right: 20px; margin-top: 20px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; position: relative; text-indent: 2.5em; top: 10px; width: 615px;"><img alt="solución" height="21" src="http://www.vitutor.org/ecuaciones/sistemas/images/15.gif" width="109" /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><object class="BLOGGER-youtube-video" classid="clsid:D27CDB6E-AE6D-11cf-96B8-444553540000" codebase="http://download.macromedia.com/pub/shockwave/cabs/flash/swflash.cab#version=6,0,40,0" data-thumbnail-src="http://3.gvt0.com/vi/kLFo10a_NY8/0.jpg" height="266" width="320"><param name="movie" value="http://www.youtube.com/v/kLFo10a_NY8&fs=1&source=uds" /><param name="bgcolor" value="#FFFFFF" /><embed width="320" height="266" src="http://www.youtube.com/v/kLFo10a_NY8&fs=1&source=uds" type="application/x-shockwave-flash"></embed></object></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br />
</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br />
</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;"></div><h3 class="r" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: white; background-image: initial; background-origin: initial; border-bottom-width: 0px; border-color: initial; border-left-width: 0px; border-right-width: 0px; border-style: initial; border-top-width: 0px; font-weight: bold; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; margin-right: 0px; margin-top: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; text-align: center;"><span class="Apple-style-span" style="font-size: small;">Resolución de sistemas de ecuaciones por el método de reducción</span></h3><div class="actividades_g" style="background-color: white; border-bottom-width: 0px; border-color: initial; border-left-width: 0px; border-right-width: 0px; border-style: initial; border-top-width: 0px; color: black; font-size: 12px; left: 5%; line-height: 1.75em; margin-bottom: 20px; margin-left: 20px; margin-right: 20px; margin-top: 30px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; position: relative; text-indent: 2.5em; width: 697px;"><span class="numero_r" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: rgba(0, 0, 0, 0); background-image: initial; background-origin: initial; color: #990000; font-size: 1.2em; font-weight: bold; margin-right: 1em;">1</span> Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convenga.</div><div class="actividades_v" style="background-color: white; border-bottom-width: 0px; border-color: initial; border-left-width: 0px; border-right-width: 0px; border-style: initial; border-top-width: 0px; color: black; font-size: 12px; left: 5%; line-height: 1.75em; margin-bottom: 20px; margin-left: 20px; margin-right: 20px; margin-top: 20px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; position: relative; text-indent: 2.5em; width: 697px;"><span class="numero_r" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: rgba(0, 0, 0, 0); background-image: initial; background-origin: initial; color: #990000; font-size: 1.2em; font-weight: bold; margin-right: 1em;">2</span> La restamos, y desaparece una de las incógnitas.</div><div class="actividades_g" style="background-color: white; border-bottom-width: 0px; border-color: initial; border-left-width: 0px; border-right-width: 0px; border-style: initial; border-top-width: 0px; color: black; font-size: 12px; left: 5%; line-height: 1.75em; margin-bottom: 20px; margin-left: 20px; margin-right: 20px; margin-top: 20px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; position: relative; text-indent: 2.5em; width: 697px;"><span class="numero_r" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: rgba(0, 0, 0, 0); background-image: initial; background-origin: initial; color: #990000; font-size: 1.2em; font-weight: bold; margin-right: 1em;">3</span> Se resuelve la ecuación resultante.</div><div class="actividades_v" style="background-color: white; border-bottom-width: 0px; border-color: initial; border-left-width: 0px; border-right-width: 0px; border-style: initial; border-top-width: 0px; color: black; font-size: 12px; left: 5%; line-height: 1.75em; margin-bottom: 20px; margin-left: 20px; margin-right: 20px; margin-top: 20px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; position: relative; text-indent: 2.5em; width: 697px;"><span class="numero_r" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: rgba(0, 0, 0, 0); background-image: initial; background-origin: initial; color: #990000; font-size: 1.2em; font-weight: bold; margin-right: 1em;">4</span> El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve.</div><div class="actividades_g" style="background-color: white; border-bottom-width: 0px; border-color: initial; border-left-width: 0px; border-right-width: 0px; border-style: initial; border-top-width: 0px; color: black; font-size: 12px; left: 5%; line-height: 1.75em; margin-bottom: 20px; margin-left: 20px; margin-right: 20px; margin-top: 20px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; position: relative; text-indent: 2.5em; width: 697px;"><span class="numero_r" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: rgba(0, 0, 0, 0); background-image: initial; background-origin: initial; color: #990000; font-size: 1.2em; font-weight: bold; margin-right: 1em;">5</span> Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.</div><div class="actividades_2_r_ir" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: white; background-image: url(http://www.vitutor.org/images/ul_v_5.png); background-origin: initial; background-position: 0% 50%; background-repeat: no-repeat no-repeat; border-bottom-width: 0px; border-color: initial; border-left-width: 0px; border-right-width: 0px; border-style: initial; border-top-width: 0px; color: black; font-size: 12px; left: 12.5%; line-height: 1.75em; margin-bottom: 20px; margin-left: 20px; margin-right: 20px; margin-top: 20px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; position: relative; text-indent: 2.5em; top: 10px; width: 615px;"><img alt="sistema" height="48" src="http://www.vitutor.org/ecuaciones/sistemas/images/2.gif" width="110" /></div><div class="actividades_v" style="background-color: white; border-bottom-width: 0px; border-color: initial; border-left-width: 0px; border-right-width: 0px; border-style: initial; border-top-width: 0px; color: black; font-size: 12px; left: 5%; line-height: 1.75em; margin-bottom: 20px; margin-left: 20px; margin-right: 20px; margin-top: 30px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; position: relative; text-indent: 2.5em; width: 697px;">Lo más fácil es suprimir la y, de este modo no tendríamos que preparar las ecuaciones; pero vamos a optar por suprimir la x, para que veamos mejor el proceso.</div><div class="actividades_2_g_ir" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: white; background-image: url(http://www.vitutor.org/images/ul_r_5.png); background-origin: initial; background-position: 0% 50%; background-repeat: no-repeat no-repeat; border-bottom-width: 0px; border-color: initial; border-left-width: 0px; border-right-width: 0px; border-style: initial; border-top-width: 0px; color: black; font-size: 12px; left: 12.5%; line-height: 1.75em; margin-bottom: 20px; margin-left: 20px; margin-right: 20px; margin-top: 20px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; position: relative; text-indent: 2.5em; top: 10px; width: 615px;"><img alt="sistema" height="61" src="http://www.vitutor.org/ecuaciones/sistemas/images/20.gif" width="337" /></div><div class="actividades_v" style="background-color: white; border-bottom-width: 0px; border-color: initial; border-left-width: 0px; border-right-width: 0px; border-style: initial; border-top-width: 0px; color: black; font-size: 12px; left: 5%; line-height: 1.75em; margin-bottom: 20px; margin-left: 20px; margin-right: 20px; margin-top: 30px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; position: relative; text-indent: 2.5em; width: 697px;">Restamos y resolvemos la ecuación:</div><div class="actividades_2_g_ir" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: white; background-image: url(http://www.vitutor.org/images/ul_r_5.png); background-origin: initial; background-position: 0% 50%; background-repeat: no-repeat no-repeat; border-bottom-width: 0px; border-color: initial; border-left-width: 0px; border-right-width: 0px; border-style: initial; border-top-width: 0px; color: black; font-size: 12px; left: 12.5%; line-height: 1.75em; margin-bottom: 20px; margin-left: 20px; margin-right: 20px; margin-top: 20px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; position: relative; text-indent: 2.5em; top: 10px; width: 615px;"><img alt="operaciones" height="80" src="http://www.vitutor.org/ecuaciones/sistemas/images/22.gif" width="237" /></div><div class="actividades_v" style="background-color: white; border-bottom-width: 0px; border-color: initial; border-left-width: 0px; border-right-width: 0px; border-style: initial; border-top-width: 0px; color: black; font-size: 12px; left: 5%; line-height: 1.75em; margin-bottom: 20px; margin-left: 20px; margin-right: 20px; margin-top: 30px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; position: relative; text-indent: 2.5em; width: 697px;">Sustituimos el valor de y en la segunda ecuación inicial.</div><div class="actividades_2_g_ir" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: white; background-image: url(http://www.vitutor.org/images/ul_r_5.png); background-origin: initial; background-position: 0% 50%; background-repeat: no-repeat no-repeat; border-bottom-width: 0px; border-color: initial; border-left-width: 0px; border-right-width: 0px; border-style: initial; border-top-width: 0px; color: black; font-size: 12px; left: 12.5%; line-height: 1.75em; margin-bottom: 20px; margin-left: 20px; margin-right: 20px; margin-top: 20px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; position: relative; text-indent: 2.5em; top: 10px; width: 615px;"><img alt="solución" height="18" src="http://www.vitutor.org/ecuaciones/sistemas/images/23.gif" width="478" /></div><div class="actividades_v" style="background-color: white; border-bottom-width: 0px; border-color: initial; border-left-width: 0px; border-right-width: 0px; border-style: initial; border-top-width: 0px; color: black; font-size: 12px; left: 5%; line-height: 1.75em; margin-bottom: 20px; margin-left: 20px; margin-right: 20px; margin-top: 30px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; position: relative; text-indent: 2.5em; width: 697px;">Solución:</div><div class="actividades_2_g_ir" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-color: white; background-image: url(http://www.vitutor.org/images/ul_r_5.png); background-origin: initial; background-position: 0% 50%; background-repeat: no-repeat no-repeat; border-bottom-width: 0px; border-color: initial; border-left-width: 0px; border-right-width: 0px; border-style: initial; border-top-width: 0px; color: black; font-size: 12px; left: 12.5%; line-height: 1.75em; margin-bottom: 20px; margin-left: 20px; margin-right: 20px; margin-top: 20px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; position: relative; text-indent: 2.5em; top: 10px; width: 615px;"><img alt="solución" height="21" src="http://www.vitutor.org/ecuaciones/sistemas/images/15.gif" width="112" /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><iframe allowfullscreen='allowfullscreen' webkitallowfullscreen='webkitallowfullscreen' mozallowfullscreen='mozallowfullscreen' width='320' height='266' src='https://www.youtube.com/embed/byGzv-krwPQ?feature=player_embedded' frameborder='0'></iframe></div><br />
<br />
</div>luis felipe lópez diagohttp://www.blogger.com/profile/03579129012659677265noreply@blogger.com0